حل تمرین 1 تا 4 صفحه 48 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی سلام به شما دانش‌آموزان خوب! قانون اصلی تابع در نمودار پیکانی این است: **از هر عضو دامنه (ورودی در مجموعه چپ) فقط و فقط یک پیکان خارج شود.** ### تحلیل نمودار: 1. **بررسی خروج پیکان‌ها:** * از $\mathbf{a}$ یک پیکان خارج شده است (به $\mathbf{a'}$). * از $\mathbf{b}$ یک پیکان خارج شده است (به $\mathbf{b'}$). * از $\mathbf{c}$ یک پیکان خارج شده است (به $\mathbf{c'}$). * از $\mathbf{d}$ **دو پیکان** خارج شده است (یکی به $\mathbf{c'}$ و دیگری به $\mathbf{d'}$). * از $\mathbf{e}$ یک پیکان خارج شده است (به $\mathbf{d'}$). 2. **تعیین عضو مشکل‌ساز:** عضو $\mathbf{d}$ باعث شده که این رابطه، تابع نباشد. زیرا یک ورودی ($athbf{d}$)، دو خروجی ($athbf{c'}$ و $\mathbf{d'}$) دارد. 3. **تبدیل به تابع:** برای این‌که این رابطه به یک تابع تبدیل شود، باید مطمئن شویم که از $\mathbf{d}$ فقط یک پیکان خارج شود. اما چون «عضو» را خواسته است، باید کل عضو $\mathbf{d}$ را از دامنه حذف کنیم. **پاسخ نهایی:** با حذف عضو **$\mathbf{d}$** از دامنه ($athbf{A}$)، این رابطه به یک تابع تبدیل خواهد شد. (چون با حذف $\mathbf{d}$، از بقیه اعضا فقط یک پیکان خارج می‌شود.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی تابع از $\mathbf{A}$ به $\mathbf{B}$ به این معناست که $\mathbf{A}$ دامنه و $\mathbf{B}$ هم‌دامنه است. هر عضو $\mathbf{A}$ باید دقیقاً به یک عضو $\mathbf{B}$ متصل شود. ### گام ۱: تعریف مجموعه‌ها * **دامنه:** $\mathbf{A = \{1, 2, 3\}}$ * **هم‌دامنه:** $\mathbf{B = \{a, b\}}$ ### گام ۲: تعریف سه تابع مختلف (به صورت زوج مرتب) **قانون:** مؤلفه‌های اول (اعضای $\mathbf{A}$) نباید تکرار شوند. 1. **تابع اول ($athbf{f_1}$): تابع ثابت (همه به یک نقطه)** $$\mathbf{f_1 = \{(1, a), (2, a), (3, a)\}}$$ * **توضیح:** این تابع، هر سه ورودی را به یک خروجی ($\mathbf{a}$) می‌فرستد. (مجاز است.) 2. **تابع دوم ($athbf{f_2}$): تابع دو به یک** $$\mathbf{f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}}$$ * **توضیح:** ورودی $\mathbf{1}$ به $\mathbf{a}$ و ورودی‌های $\mathbf{2}$ و $\mathbf{3}$ به $\mathbf{b}$ متصل شده‌اند. 3. **تابع سوم ($athbf{f_3}$): تابع یک به یک (بدون استفاده از تمام برد)** $$\mathbf{f_3 = \{(1, b), (2, a), (3, a)\}}$$ * **توضیح:** یک مثال دیگر که نشان می‌دهد هر ورودی فقط یک خروجی دارد. **نکته علمی:** تعداد کل توابع قابل تعریف از $\mathbf{A}$ به $\mathbf{B}$ برابر است با $\mathbf{|B|^{|A|}}$ که در اینجا $\mathbf{2^3 = 8}$ تابع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی یک رابطه زمانی **تابع نیست** که **یک ورودی (مؤلفه اول) حداقل دو خروجی (مؤلفه دوم) متفاوت** داشته باشد. ### گام ۱: پیدا کردن ورودی تکراری ساده‌ترین راه این است که یکی از مؤلفه‌های اول موجود را تکرار کنیم (مثلاً $\mathbf{2}$ یا $\mathbf{3}$) و خروجی جدیدی برای آن بنویسیم. 1. **زوج مرتب دوم:** ورودی (مؤلفه اول) آن را $\mathbf{2}$ می‌گذاریم. $$\mathbf{(2, 5)}$$ 2. **بررسی:** اکنون ورودی $\mathbf{2}$ دو خروجی متفاوت دارد: $\mathbf{(2, 3)}$ و $\mathbf{(2, 5)}$. ### گام ۲: تکمیل جاهای خالی می‌توانیم بقیه جاهای خالی را به دلخواه پر کنیم (به شرطی که باز هم تابع نشود!): $$\mathbf{f = \{(2, 3), (\mathbf{2}, 5), (3, \mathbf{10}), (\mathbf{3}, \mathbf{1})\}}$$ **تحلیل نهایی:** * ورودی $\mathbf{2}$ به خروجی‌های $\mathbf{3}$ و $\mathbf{5}$ وصل شده است. * ورودی $\mathbf{3}$ به خروجی‌های $\mathbf{10}$ و $\mathbf{1}$ وصل شده است. **پاسخ نهایی:** یک نمونه از رابطه‌ی غیرتابع: $\mathbf{f = \{(2, 3), (\mathbf{2}, 5), (3, \mathbf{10}), (\mathbf{3}, \mathbf{1})}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی ما با استفاده از سه روش مختلف (پیکانی، زوج مرتب، توصیفی) به تشخیص تابع بودن می‌پردازیم. ### الف) $\mathbf{A = \{1, -1, 2, -2\}}$ به $\mathbf{B = \{1, 4\}}$ * **ارتباط:** $\mathbf{1 \to 1}$، $\mathbf{-1 \to 1}$، $\mathbf{2 \to 4}$، $\mathbf{-2 \to 4}$. * **تحلیل:** از هر عضو $\mathbf{A}$ دقیقاً یک پیکان خارج شده است (حتی اگر دو ورودی به یک خروجی بروند). * **پاسخ:** **تابع است.** * **دلیل:** هر ورودی ($\mathbf{x}$) فقط یک خروجی ($\mathbf{y}$) دارد. ($athbf{y = x^2}$) ### ب) $\mathbf{A = \{2, 1\}}$ به $\mathbf{B = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1\}}$ * **ارتباط:** $\mathbf{2 \to \sqrt{2}}$ و $\mathbf{2 \to -\sqrt{2}}$ و $\mathbf{1 \to 1}$. * **تحلیل:** از عضو $\mathbf{2}$ در دامنه، **دو پیکان** (به $\mathbf{\sqrt{2}}$ و $\mathbf{-\sqrt{2}}$) خارج شده است. * **پاسخ:** **تابع نیست.** * **دلیل:** ورودی $\mathbf{2}$ به دو خروجی مختلف نسبت داده شده است. ### پ) $\mathbf{f = \{(2, 1), (2, 4), (2, 2), (3, 4), (5, 1)\}$ * **تحلیل:** مؤلفه‌ی اول $\mathbf{2}$ تکرار شده و خروجی‌های $\mathbf{1}$، $\mathbf{4}$ و $\mathbf{2}$ را دارد. * **پاسخ:** **تابع نیست.** * **دلیل:** ورودی $\mathbf{2}$ سه خروجی متفاوت دارد ($athbf{(2, 1), (2, 4), (2, 2)}$). ### ت) رابطه‌ای که به هر شخص، شماره‌ی ملی او را نسبت می‌دهد. * **رابطه:** $\mathbf{\text{شخص} \to \text{شماره ملی}}$ * **تحلیل:** آیا یک شخص می‌تواند دو شماره ملی متفاوت داشته باشد؟ خیر، هر شخص فقط یک شماره ملی یکتا دارد. * **پاسخ:** **تابع است.** * **دلیل:** هر ورودی (شخص) دقیقاً یک خروجی (شماره ملی) دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی اگر یک رابطه **تابع** باشد، به این معنی است که مؤلفه‌های اول یکسان باید مؤلفه‌های دوم یکسان نیز داشته باشند. ما از این قانون برای یافتن $\mathbf{x}$ و $\mathbf{y}$ استفاده می‌کنیم. ### گام ۱: تشکیل دستگاه معادلات 1. **تکرار ورودی $\mathbf{2}$:** زوج مرتب‌های $\mathbf{(2, x + y)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$ باید خروجی‌های برابری داشته باشند: $$\mathbf{x + y = 4 \quad (معادله ۱)}$$ 2. **تکرار ورودی $\mathbf{5}$:** زوج مرتب‌های $\mathbf{(5, 2)}$ و $\mathbf{(5, x - y)}$ باید خروجی‌های برابری داشته باشند: $$\mathbf{x - y = 2 \quad (معادله ۲)}$$ ### گام ۲: حل دستگاه معادلات دستگاه معادلات را با روش جمع یا حذفی حل می‌کنیم: $$\begin{cases} \mathbf{x + y = 4} \\ \mathbf{x - y = 2} \end{cases}$$ 1. **جمع کردن دو معادله:** $$\mathbf{(x + y) + (x - y) = 4 + 2}$$ $$\mathbf{2x = 6 \Rightarrow x = 3}$$ 2. **یافتن $\mathbf{y}$ (با جایگذاری $\mathbf{x=3}$ در معادله ۱):** $$\mathbf{3 + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 3 = 1}$$ **مقادیر مجهول:** $\mathbf{x = 3}$ و $\mathbf{y = 1}$ ### گام ۳: نوشتن مجموعه $\mathbf{f}$ و محاسبه $\mathbf{x^2 + y^2}$ 1. **مجموعه $\mathbf{f}$ بازنویسی شده:** $$\mathbf{f = \{(2, 3 + 1), (2, 4), (5, 2), (3, 4), (5, 3 - 1)\}$$ $$\mathbf{f = \{(2, 4), (2, 4), (5, 2), (3, 4), (5, 2)\}$$ $$\mathbf{f = \{(2, 4), (5, 2), (3, 4)\}$$ 2. **محاسبه $\mathbf{x^2 + y^2}$:** $$\mathbf{x^2 + y^2 = (3)^2 + (1)^2 = 9 + 1 = 10}$$ **پاسخ نهایی:** $\mathbf{x^2 + y^2 = 10}$. (مجموعه‌ی $\mathbf{f}$ پس از محاسبه: $\mathbf{\{(2, 4), (5, 2), (3, 4)\}}$.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 48 ریاضی دهم انسانی برای تشخیص تابع از روی نمودارهای مختصاتی گسسته (نقاط جداگانه)، باید به **مؤلفه‌های اول ($athbf{x}$)** نگاه کنیم. اگر هیچ خط عمودی‌ای نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نکند، تابع است. ### الف) تحلیل نمودار الف * **نقاط نمودار:** $\mathbf{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)}$ * **مؤلفه‌های اول:** $\mathbf{1, 2, 3, 4}$ * **تحلیل:** هیچ خط عمودی‌ای بیش از یک نقطه را قطع نمی‌کند (مؤلفه‌های $\mathbf{x}$ تکراری نیستند). * **پاسخ:** **تابع است.** (این یک تابع ثابت است.) ### ب) تحلیل نمودار ب * **نقاط نمودار:** $\mathbf{(-2, 1), (-1, 1), (1, 1), (3, 1)}$ و $\mathbf{(1, 2), (3, 2)}$ * **مؤلفه‌های اول تکراری:** * در $\mathbf{x = 1}$: دو نقطه $\mathbf{(1, 1)}$ و $\mathbf{(1, 2)}$ وجود دارد. * در $\mathbf{x = 3}$: دو نقطه $\mathbf{(3, 1)}$ و $\mathbf{(3, 2)}$ وجود دارد. * **تحلیل:** خط عمودی $\mathbf{x=1}$ و $\mathbf{x=3}$ نمودار را در دو نقطه قطع می‌کند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** **پاسخ نهایی:** نمودار **(الف)** یک تابع را مشخص می‌کند.